Zur Verbesserung der Approximation der effektiven Theorie ist es naheliegend, einen Term der Form
mit
zu berücksichtigen. Diese Wechselwirkung enthält zwar keine Impuls-Null-Anteile
mehr, ist aber i. a. nicht -symmetrisch.
Damit ist er für die Untersuchung des KT-Szenarios unbrauchbar.
Eine -symmetrische Erweiterung zu den Näherungen an die effektive Theorie
aus Kapitel
stellt die Wechselwirkung
dar. Wählt man die gemäß Definition (
), so
besitzt diese Wechselwirkung auch keine Anteile des Impuls-Null-Potentials mehr.
Um die Approximation
zu testen, wurde analog zu Abschnitt die Schichtdicke dieser Näherung
mit der Schichtdicke der exakten effektiven Theorie verglichen. Dazu ist die
Approximation (
) für die Starttheorie
bei einem RG-Schritt mit
auf einem groben
-Gitter
mit Hilfe der Störungstheorie erster Ordnung in
berechnet worden. Anschließend habe ich den Metropolis-Filter für den
MC-Algorithmus zur approximierten Theorie aus Abschnitt
um den
Term
erweitert. Zur Beschleunigung des Programms wurde wieder mit der lokalen Version
des kinetischen Terms gearbeitet. Von
sind nur diejenigen Wechselwirkungen berücksichtigt worden, bei denen
die Koordinaten
in einem Quadrat mit Seitenlänge drei auf dem
Gitter
liegen. Schon diese eine RG-Transformation zeigt, daß
Erweiterungen der Form (
) zu keiner Verbesserung der Approximationen
führen, denn die hiermit ermittelte Schichtdicke ergibt sich als
. Für die exakte effektive Theorie wurde
in Abschnitt
der Wert
angegeben;
es zeigt sich noch nicht einmal eine signifikante Verbesserung zu der Näherung
ohne
-Term mit
.
Ein weiterer Versuch bestand darin, anstelle von () einen
Term der Art
zu benutzen, wobei mit die Summe über die nächsten Nachbarn
gemeint ist. Dies kann man in eine Wechselwirkung der Form (
)
umschreiben,
Der Kern ist nur für drei Wechselwirkungsarten ungleich null,
Man wählt den Parameter so, daß die Abweichung von der
Matrix
aus Definition (
)
minimiert wird. Untersucht wurde die Qualität dieser Approximation unter
den gleichen Bedingungen wie für die Hamiltonfunktion (). Wie
Abbildung
zeigt, trägt die Wechselwirkung
zur Verbesserung der Approximation an die exakte
effektive Theorie bei. Allerdings bleibt auch diese Näherung an die effektive
Theorie unvollständig, was auch nicht weiter verwundert, da nur drei
Wechselwirkungstypen des
-Kerns vierter Ordnung berücksichtigt wurden.
Eine Möglichkeit ist nach diesem Schema, auch übernächste
Nachbarwechselwirkungen etc. in die approximierte effektive Theorie einzubauen.
Abgesehen vom steigenden numerischen Aufwand ist dieser Ansatz allein
nicht erfolgversprechend. Denn man gelangt in Abschnitt zu den selben
negativen Aussagen über die Qualität der Approximation, wenn man die effektive
Hamiltonfunktion ansetzt als Differenz aus
einem Impuls-Null-Potential
und
einem beliebigen
-symmetrischen generalisierten kinetischen Term. Damit gibt es
mindestens noch einen wichtigen
- aber nicht
-symmetrischen
Wechselwirkungstypus.