POLUGRUPPOVYE METODY V SUPERSIMMETRIChNYKh TEORIYaKh ELEMENTARNYKh ChASTITz

Duplij Stepan Anatol'evich

(SEMIGROUP METHODS IN SUPERSYMMETRIC THEORIES OF ELEMENTARY PARTICLES. Habilitation Thesis by Steven Duplij)

Dissertatziya posvyashchena abstraktnym, geometricheskim i simmetrijnym aspektam sovremennoj teorii elementarnykh chastitz. V rabote razvivaetsya novoe napravlenie v postroenii supersimmetrichnykh i superstrunnykh modelej, osnovannoe na posledovatel'nom i strogom vkljuchenii polugrupp, idealov i neobratimykh svojstv v issledovanie ikh matematicheskoj struktury. Postroena teoriya polusupermnogoobrazij i neobratimoe obobshchenie superkonformnoj i giperbolicheskoj geometrij. Polucheny novye nepreryvnye supermatrichnye predstavleniya polugrupp. Provedennye issledovaniya pozvolili sformulirovat' teoreticheskuju model' elementarnykh chastitz, osnovannuju na supersimmetrii v terminakh bolee obshchikh kategorij i novykh struktur -- kak teoriju supermatrichnykh i abstraktnykh polugrupp, vkljuchajushchuju predydushchie teorii kak chastnyj obratimyj variant.

Kljuchevye slova: supersimmetriya, supermnogoobrazie, superstruna, superkonformnoe preobrazovanie, nil'potent, chetnost', polugruppa, ekvivalentnost', ideal.

Aktual'nost' temy. Postroenie edinoj teorii vsekh fundamental'nykh vzaimodejstvij -- elektromagnitnogo, slabogo, sil'nogo i gravitatzionnogo -- yavlyaetsya vazhnejshej teoreticheskoj problemoj sovremennoj fiziki elementarnykh chastitz. Sushchestvennym dostizheniem v etom napravlenii yavilos' razvitie metodov supersimmetrii i supergravitatzii, kotorye pozvolili razreshit' takie trudnosti predshestvujushchikh supersimmetrii kalibrovochnykh teorij fundamental'nykh vzaimodejstvij (kvantovoj elektrodinamiki, kvantovoj khromodinamiki i modeli Vajnberga-Salama), kak vkljuchenie gravitatzii i rassmotrenie protzessov pri plankovskikh energiyakh.

Nelokal'noe mnogomernoe obobshchenie supergravitatzii - teoriya superstrun - dala otvet na mnogie otkrytye voprosy, svyazannye s neperenormiruemost'ju i kosmologicheskoj postoyannoj, a takzhe s posledovatel'noj unifikatziej vsekh fundamental'nykh vzaimodejstvij. V teorii superstrun osushchestvilsya sintez raznoobraznykh metodov teoreticheskoj i matematicheskoj fiziki. Tem ne menee, dal'nejshij progress v ponimanii glubinnykh fizicheskikh osnov stroeniya materii, v svoju ochered', trebuet intensivnykh poiskov nestandartnykh putej razresheniya izvestnykh problem i privlecheniya printzipial'no novykh teoreticheskikh idej.

Naibolee fundamental'nymi i obshchimi yavlyajutsya abstraktnye algebraicheskie svojstva teorii, lezhashchej v osnove fiziki elementarnykh chastitz. Kak pravilo, vnachale issledovanij takie svojstva vvodyatsya s matematicheskoj tochki zreniya i lish' zatem formulirujutsya na yazyke fizicheskikh zakonov i predskazanij rezul'tatov eksperimenta.

Tak proizoshlo i v sluchae supersimmetrii: antikommutirujushchie velichiny rassmatrivalis' mnogimi matematikami eshche nachinaya s proshlogo stoletiya. No lish' posle otkrytiya supersimmetrii fizikami v nachale 70-kh godov ona prevratilas' iz chisto matematicheskoj teorii v "industrial'nuju" osnovu sovremennogo "modelestroeniya" s fizicheskimi konstruktziyami i konkretnymi predskazaniyami novykh elementarnykh chastitz -- superpartnerov. Nastoyashchij "bum supersimmetrizatzii" potryas teoreticheskuju fiziku 70-kh i 80-kh: vse, chto moglo "supersimmetrizovat'sya", nezamedlitel'no "supersimmetrizovalos'". Osnovnye ingredienty teorii posle ochevidnykh modifikatzij nadelyalis' pristavkoj "super", a zatem postroenie uzhe supersimmetrichnoj modeli, iskljuchaya nesushchestvennye i ne prinimaemye v raschet momenty, kopirovalis' shag za shagom iz podobnoj nesupersimmetrichnoj versii, i poslednyaya obyazana byla byt' nekotorym ee nepreryvnym predelom.

Odnako, pri etom abstraktnye algebraicheskie svojstva fizicheskoj teorii ili vovse ne preterpevali izmenenij, libo vliyanie "supersimmetrizatzii" bylo prosto simvolichnym. Tak predpolagalos', chto imenno supergruppy predstavlyajut soboj adekvatnoe superobobshchenie sootvetstvujushchikh grupp. I eto udivitel'no, poskol'ku sredi osnovnykh peremennykh supersimmetrichnoj teorii iznachal'no prisutstvujut neobratimye ob`ekty i deliteli nulya. V chastnosti, kontzeptziya superprostranstva, dopuskajushchego unifikatziju opisaniya bozonnykh i fermionnykh sektorov teorii, osnovana na vvedenii dopolnitel'nykh nil'potentnykh koordinat, togda mnogie otobrazheniya i funktzii stanovyatsya neobratimymi po opredeleniju. I vse zhe, kak eto ni stranno i ni paradoksal'no s matematicheskoj tochki zreniya, oni iskusstvenno i neobosnovanno iskljuchalis' iz rassmotreniya. Dannaya protzedura byla nazvana "faktorizatziej po nil'potentam" v fizike (v teorii polugrupp eta protzedura khorosho izvestna i nazyvaetsya faktorizatziej Risa) i ona (v osnovnom neargumentirovanno) primenyalas' ili podrazumevalas' pri supersimmetrizatziyakh.

Na samom dele, vse preobrazovaniya mnozhestva, soderzhashchego nil'potenty, ili vse otobrazheniya superprostranstva sokhranyajushchego vid opredelennoj struktury obrazujut polugruppu (a ne gruppu) otnositel'no kompozitzii. Poetomu kategoriya grupp, v ramkakh kotoroj stroilis' nesupersimmetrichnye teorii elementarnykh chastitz, dolzhna byt' obobshchena do kategorii polugrupp pri matematicheski strogom vkljuchenii supersimmetrii v osnovopolagajushchie printzipy teorii.

Drugimi slovami, perekhod ot prostranstva k superprostranstvu dolzhen soprovozhdat'sya odnovremennym perekhodom ot grupp k superpolugruppam, a ne supergruppam -- "super" obobshchenie fizicheskoj teorii dolzhno soprovozhdat'sya "polu" obobshcheniem ee matematiki v tzelom. Togda v global'nom teoretiko-gruppovom smysle supersimmetrichnye modeli elementarnykh chastitz obyazany imet' strukturu polugruppy, v to vremya, kak nabljudaemyj ikh sektor pri nastoyashchikh energiyakh mozhet udovletvoritel'no opisyvat'sya ikh obratimoj gruppovoj chast'ju. Poetomu ne sleduet ogranichivat'sya issledovaniyami lish' poslednej, poskol'ku svojstva ideal'noj i gruppovoj chastej vzaimoobuslovleny i vzaimozavisimy. V etom kontekste vazhnym takzhe yavlyaetsya peresmotr standartnogo anzatza "faktorizatzii", a imenno -- "faktorizovat' po ne-nil'potentam", t. e. izuchat' "negruppovye" (ili ideal'nye) svojstva supersimmetrichnykh teorij.

Takim obrazom, postroenie i issledovanie takikh supersimmetrichnykh modelej elementarnykh chastitz, kotorye, s odnoj storony, obladali by matematicheskoj obshchnost'ju i korrektnost'ju v ramkakh apparata teorii polugrupp, a s drugoj storony, imeli by dostatochnuju fizicheskuju predskazatel'nuju silu, predstavlyaet soboj aktual'nuju nauchno-teoreticheskuju problemu.

Osnovnoj ob`ekt v teorii superstrun -- eto mirovaya poverkhnost' struny, sledovatel'no postroenie i izuchenie neobratimykh i polugruppovykh obobshchenij supermnogoobrazij i superkonformnoj differentzial'noj geometrii predstavlyaet soboj pervoocherednuju zadachu.

V etoj svyazi chrezvychajno aktual'noj yavlyaetsya takzhe problema obratnogo vliyaniya supersimmetrii na teoriju polugrupp. Tak, podrobnoe issledovanie neobratimykh supermatritz privodit k novym i neozhidannym rezul'tatam v ideal'nom stroenii i teorii predstavlenij supermatrichnykh polugrupp, chto, v svoju ochered', mozhet sposobstvovat' posledovatel'nomu i korrektnomu postroeniju novykh supersimmetrichnykh modelej elementarnykh chastitz, osnovannykh na polugruppovykh printzipakh.

Svyaz' raboty s nauchnymi programmami, planami, temami. Dissertatziya vypolnena kak chast' issledovanij, provodimykh na kafedrakh teoreticheskoj i eksperimental'noj yadernoj fiziki KhGU v ramkakh koordinatzionnogo plana Ministerstva obrazovaniya Ukrainy "Kompleksnye issledovaniya yadernykh protzessov i sozdanie na ikh osnove yaderno-fizicheskikh metodov dlya ispol'zovaniya v energetike i radiatzionnoj bezopasnosti yadernykh energeticheskikh ustanovok i tekhnologij radiatzionnoj modifikatzii materialov i ekologii".

Rezul'taty dissertatzii voshli v otchety gosbjudzhetnykh tem "Issledovaniya struktury atomnykh yader i novykh zakonomernostej v yadernykh vzaimodejstviyakh" (N1-13-94, nomer gosregistratzii 0194U018989) i "Issledovaniya yadernykh protzessov s uchastiem nuklonov i slozhnykh chastitz nizkikh i srednikh energij" (N1-13-97, nomer gosregistratzii 0197U016494).

Tzel' i zadachi issledovaniya. Osnovnoj tzel'ju dissertatzionnoj raboty yavlyaetsya podrobnyj analiz neobratimykh svojstv, razrabotka i primenenie polugruppovykh metodov v supersimmetrichnykh modelyakh elementarnykh chastitz. Dlya etogo reshalis' takie zadachi:

1. Poisk neobratimykh analogov supermnogoobrazij, rassloenij i gomotopij.
2. Formulirovka neobratimoj superkonformnoj differentzial'noj geometrii i postroenie superkonformnykh polugrupp.
3. Klassifikatziya neobratimykh rasshirennykh i nerasshirennykh superkonformnykh preobrazovanij.
4. Nakhozhdenie nelinejnykh realizatzij neobratimykh superkonformnykh preobrazovanij.
5. Vsestoronnij analiz supermatrichnykh polugrupp, poisk novykh predstavlenij i ekvivalentnostej.
6. Vvedenie novykh tipov matritz, soderzhashchikh nil'potentnye elementy i izuchenie ikh svojstv.
7. Postroenie neobratimogo analoga giperbolicheskoj geometrii na superploskosti.

Nauchnaya novizna poluchennykh rezul'tatov. Nauchnaya novizna dissertatzionnoj raboty sostoit v postroenii novogo napravleniya v supersimmetrichnykh modelyakh elementarnykh chastitz, kotoroe osnovano na vkljuchenii polugrupp, idealov i neobratimykh svojstv v issledovanie matematicheskoj struktury. Vpervye opredeleny neobratimye analogi supermnogoobrazij, rassloenij i gomotopij. Sformulirovana novaya neobratimaya superkonformnaya geometriya (i ee rasshirennye varianty), najdeny novye tipy superkonformnykh polugrupp i preobrazovanij, kotorye spletajut chetnost' kasatel'nogo rassloeniya. Predlozhena al'ternativnaya reduktziya supermatritz, kotoraya privodit k novym abstraktnym svojstvam, polugruppam i supermodulyam. Vpervye supermatritzy ispol'zujutsya dlya postroeniya predstavlenij polugrupp svyazok, pri etom najdeny novye obobshchennye otnosheniya Grina. Postroen neobratimyj variant giperbolicheskoj geometrii na superploskosti, gde najdeny neobratimye analogi dvojnykh otnoshenij, invariantov i rasstoyanij.

Prakticheskoe znachenie poluchennykh rezul'tatov. Dissertatzionnaya rabota nosit teoreticheskij kharakter. Ee rezul'taty mogut byt' ispol'zovany dlya postroeniya novykh matematicheski korrektnykh modelej elementarnykh chastitz, osnovannykh na teorii superstrun, pereosmyslennogo analiza neobratimosti v uzhe imejushchikhsya modelyakh, a takzhe dlya poiska novykh polugruppovykh svojstv i struktur v supersimmetrichnykh ob`ektakh i prostranstvakh.

Lichnyj vklad dissertanta. Vse rezul'taty polucheny avtorom samostoyatel'no.

Aprobatziya rezul'tatov dissertatzii. Osnovnye rezul'taty raboty dokladyvalis' avtorom na 12 mezhdunarodnykh konferentziyakh, 10 iz kotorykh provodilis' za rubezhom:

1. MEZhDUNARODNAYa ShKOLA PO TEORETIChESKOJ I MATEMATIChESKOJ FIZIKE (Gvadelupa, Frantziya, 1993)
2. MEZhDUNARODNYJ KOLLOKVIUM PO TEORETIKO-GRUPPOVYM METODAM V MATEMATIChESKOJ FIZIKE (Parizh, Frantziya, 1993)
3. MEZhDUNARODNYJ KONGRESS PO MATEMATIChESKOJ FIZIKE (Parizh, Frantziya, 1994)
4. MEZhDUNARODNAYa KRAKOVSKAYa ShKOLA PO TEORETIChESKOJ FIZIKE (Zakopane, Pol'sha, 1995)
5. MEZhDUNARODNAYa KONFERENTzIYa PO KALIBROVOChNYM TEORIYaM, PRIKLADNOJ SUPERSIMMETRII I KVANTOVOJ GRAVITATzII (Leuven, Bel'giya, 1995)
6. EVROPEJSKAYa ShKOLA PO TEORII GRUPP (Valladolid, Ispaniya, 1995)
7. MEZhDUNARODNAYa KONFERENTzIYa SUPERSIMMETRIYa-96 (Kollezh Park, SShA, 1996)
8. MEZhDUNARODNAYa KONFERENTzIYa PO VYSShIM GOMOTOPIChESKIM STRUKTURAM V MATEMATIChESKOJ FIZIKE (Pokipsi, SShA, 1996)
9. MEZhDUNARODNYJ SEMINAR PO SUPERSIMMETRII I KVANTOVOJ TEORIYa POLYa pamyati D. V. Volkova (Khar'kov, Ukraina, 1997)
10. MEZhDUNARODNAYa KONFERENTzIYa PO SUPERSIMMETRII I KVANTOVYM SIMMETRIYaM pamyati V. I. Ogievetzkogo (Dubna, Rossiya, 1997)
11. MEZhDUNARODNAYa ALGEBRAIChESKAYa KONFERENTzIYa pamyati L. M. Gluskina (Slavyansk, Ukraina, 1997)
12. MEZhDUNARODNYJ KONGRESS MATEMATIKOV (Berlin, Germaniya, 1998)

Materialy dissertatzionnoj raboty predstavlyalis' i vsestoronne obsuzhdalis' na mnogikh seminarakh v Ukraine, Rossii, Germanii, Anglii, Frantzii, SShA i drugikh stranakh.

Publikatzii. Osnovnye rezul'taty dissertatzii opublikovany v 17 rabotakh (iz nikh 10 v zarubezhnykh izdaniyakh), a takzhe v trudakh upomyanutykh konferentzij. Vse raboty vypolneny bez soavtorov. Bol'shinstvo rabot predvaritel'no opublikovano takzhe v internete i khranitsya v mezhdunarodnykh elektronnykh arkhivakh SShA, Anglii, Italii, Yaponii. Pryamoj dostup k nim vozmozhen s internetovskoj stranitzy avtora: http://home.univer.kharkov.ua/~duplij (ili http://gluon.physik.uni-kl.de/~duplij).

Struktura i ob`em raboty. Dissertatziya sostoit iz Vvedeniya, 5-ti osnovnykh razdelov, razdela Vyvody i prilozhenij. Ob`em osnovnogo teksta (bez prilozhenij i literatury) sostavlyaet 297 stranitz. V rabote imeetsya 3 risunka, 3 tablitzy i spisok literatury iz 672 nazvanij.

Vo Vvedenii obosnovana aktual'nost' problemy, sformulirovana tzel' raboty, ee nauchnaya novizna, prakticheskaya tzennost' i aprobatziya, kratko izlozheno ee soderzhanie.

V razdele "Teoriya neobratimykh supermnogoobrazij" podrobno analizirujutsya obobshcheniya ponyatij supermnogoobraziya, superrassloenie i gomotopii na neobratimyj sluchaj. Na yazyke kart i funktzij perekhoda vvodyatsya ponyatie polusupermnogoobraziya kak neobratimogo analoga supermnogoobraziya. Prefiks "polu-" otrazhaet tot fakt chto lezhashchie v osnove morfizmy formirujut polugruppy sostoyashchie iz izvestnoj gruppovoj chasti i novoj ideal'noj neobratimoj chasti, t.e. rassmatrivaetsya polugruppovoe obobshchenie predydushchego formalizma.

Polukarta opredelyaetsya kak para iz superoblasti i neobratimogo morfizma . Togda poluatlas est' ob`edinenie standartnykh obratimykh kart i polukart . Polusupermnogoobrazie est' superprostranstvo, predstavlennoe v kachestve poluatlasa.

Funktzii perekhoda na polusupermnogoobrazii nakhodyatsya ne iz standartnykh vyrazhenij na peresechenii superoblastej , a iz sistemy uravnenij

V obshchem sluchae pri nakhozhdenii i eti uravneniya ne mogut byt' resheny s pomoshch'ju v silu neobratimykh i . Vmesto etogo ishchutsya iskusstvennye priemy ego resheniya, naprimer, razlozheniem v ryad po generatoram superalgebry, libo ispol'zuya abstraktnye metody teorii polugrupp, kotorye rassmatrivajut resheniya neobratimykh uravnenij kak klassy ekvivalentnosti.

Oslablenie obratimosti pozvolyaet estestvenno obobshchat' usloviya kotzikla dlya funktzij perekhoda polusupermnogoobrazij. Oni stroyatsya analogichno usloviyam regulyarnosti dlya elementov polugruppy. Tak, vmesto standartnogo n=2 usloviya vzaimnoj obratnosti funktzij perekhoda i v vide (gde -- tozhdestvennoe otobrazhenie na ) imeem obobshchennoe uslovie

na peresecheniyakh . A vmesto izvestnogo n=3 usloviya kotzikla na peresechenii trekh superoblastej poluchaem ego neobratimyj analog

Analogichno stroyatsya usloviya kotzikla pri proizvol'nykh n, kotoroe my nazyvaem n-regulyarnost'ju otobrazhenij. Ponyatno, chto 3-regulyarnost' sovpadaet s obyknovennoj regulyarnost'ju.

Eto pozvolyaet sformulirovat' chrezvychajno obshchij anzatz polukommutativnosti dlya neobratimykh morfizmov, kotoryj pri n=3 opisyvaetsya treugol'noj kommutativnoj diagrammoj s dopolnitel'noj strelkoj.

Polucheny takzhe neobratimye analogi kotziklov dlya refleksivnykh polusupermnogoobrazij.

Najden dopolnitel'nyj nil'potentnyj tip orientiruemosti na polusupermnogoobraziyakh, kotoryj obuslovlen nil'potentnost'ju bereziniana funktzij perekhoda. Indeks nil'potentnosti bereziniana pozvolyaet nam sistematizirovat' polusupermnogoobraziya imejushchie nil'potentnuju orientiruemost'. Vvodyatsya takzhe bashennye tozhdestva i prepyatstvennost', s pomoshch'ju kotorykh udaetsya proklassifitzirovat' polusupermnogoobraziya. Po analogii s superchislami imeem sledujushchuju klassifikatziju:

• Superchisla.
  1. Obyknovennye ne ravnye nulju chisla (obratimye).
  2. Superchisla, imejushchie nenulevuju chislovuju chast' (obratimye).
  3. Superchisla, imejushchie nulevuju chislovuju chast' (neobratimye).

• Polusupermnogoobraziya.
  1. Obyknovennye mnogoobraziya (funktzii perekhoda obratimy).
  2. Supermnogoobraziya (funktzii perekhoda obratimy).
  3. Prepyatstvennye polusupermnogoobraziya (funktzii perekhoda neobratimy).

Analogichnym obrazom vvodyatsya polurassloeniya, v kotorykh neobratimost' voznikaet za schet neobratimosti funktzij perekhoda, svyazannoj s nil'potentami i divizorami nulya v podstilajushchej superalgebre. Dalee rassmatrivajutsya morfizmy i usloviya sootvetstviya polurassloenij. Obobshchennye usloviya kotzikla dlya funktzij perekhoda polusupermnogoobrazij i polurassloenij mogut privodit' k postroeniju neobratimykh analogov kotziklov Chekha i spektral'nykh posledovatel'nostej, chto tesno svyazano s kogomologicheskimi metodami teorii polugrupp.

Dlya opisaniya obobshchennykh morfizmov na polusupermnogoobraziyakh opredelyajutsya chetnye i nechetnye polugomotopii s neobratimym chetnym ili nechetnym superparametrom sootvetstvenno. Polugomotopii privodyat k rassmotreniju fundamental'nykh polugrupp i igrajut tu zhe rol' v izuchenii svojstv nepreryvnosti i klassifikatzii polusupermnogoobrazij, kotoruju obyknovennye gomotopii igrajut dlya obyknovennykh (super)mnogoobrazij.

Razdel "Neobratimoe obobshchenie N=1 superkonformnoj geometrii" posvyashchen postroeniju neobratimoj superkonformnoj differentzial'noj geometrii (1|1)-mernogo kompleksnogo superprostranstva , kotoraya iskljuchitel'no vazhna v teorii superstrun, superrimanovykh poverkhnostej i v dvumernykh superkonformnykh teoriyakh polya.

Vnachale stroitsya polugruppa superanaliticheskikh preobrazovanij i provoditsya ikh klassifikatziya po neobratimosti. Vvodyatsya lokal'nye edinitzy i nuli i analizirujutsya ikh svojstva. Privedeny sootnosheniya na trojnykh peresecheniyakh dlya superanaliticheskikh polusupermnogoobrazij. Polucheno vyrazhenie dlya neobratimogo analoga bereziniana i provedena klassifikatziya superanaliticheskikh preobrazovanij po indeksu nil'potentnosti bereziniana.

Dalee podrobno proanalizirovany vse vozmozhnye reduktzii kasatel'nogo (1|1)-mernogo prostranstva bez ucheta trebovaniya obratimosti. Okazyvaetsya, chto netrivial'nykh reduktzij imeetsya dve, a ne odna, kak v obratimom sluchae. Eto svyazano s fundamental'noj formuloj slozheniya berezinianov redutzirovannykh supermatritz kasatel'nogo prostranstva

gde -- polnaya supermatritza, i -- treugol'naya i antitreugol'naya supermatritzy sootvetstvenno. Otsjuda redutzirovannye (superkonformno-podobnye) preobrazovaniya opredelyajutsya proektirovaniem bereziniana na odno iz slagaemykh. Togda v terminakh preobrazovannykh koordinat poluchaem dva usloviya

gde i D -- obychnaya i superproizvodnaya sootvetstvenno. Pervoe iz nikh opredelyaet standartnye superkonformnye preobrazovaniya (obratimye i neobratimye), a vtoroe uslovie privodit k novym neobratimym preobrazovaniyam , spletajushchim chetnost' v kasatel'nom i kokasatel'nom superprostranstvakh. Dejstvitel'no, esli superkonformnye preobrazovaniya indutzirujut kovariantnye preobrazovaniya superdifferentzialov i superproizvodnykh

to spletajushchie chetnost' preobrazovaniya takzhe dajut kovariantnye preobrazovaniya v kasatel'nom superprostranstve, no s vrashcheniem chetnosti

Pervye dva sootnosheniya yavlyaetsya kljuchevymi dlya postroeniya teorii raspredeleniya na superrimanovykh poverkhnostyakh, kotorye opredelyajutsya uravneniem . Drugoe uslovie opredelyaet neobratimyj analog superrimanovykh poverkhnostej, v kotorykh chetnost' kasatel'nogo prostranstva ne fiksirovana. Takaya konstruktziya s funktziyami perekhoda iz i mozhet rassmatrivat'sya kak chastnyj sluchaj vvedennykh ranee polusupermnogoobrazij. Krome togo, novye spletajushchie chetnost' preobrazovaniya vozmozhno mogut privodit' k dopolnitel'nym vkladam v amplitudu fermionnykh strun spetzial'noj konfiguratzii.

Rassmotreny takzhe levye vyrozhdennye redutzirovannye preobrazovaniya , dlya kotorykh oba usloviya i vypolnyajutsya odnovremenno, a takzhe pravye vyrozhdennye redutzirovannye preobrazovaniya , kotorye opredelyajutsya usloviem .

Najdeno edinoe opisanie oboikh tipov redutzirovannykh preobrazovanij s pomoshch'ju al'ternativnoj parametrizatzii, v kotorom razlichie mezhdu nimi opredelyaetsya proektziej nekotorogo "spina reduktzii" , gde znak sootvetstvuet preobrazovaniyam i sootvetstvenno. Privedena tablitza umnozheniya dlya "spina reduktzii" i opisany ego svojstva. Esli superkonformnye preobrazovaniya yavlyajutsya superanalogom golomorfnykh preobrazovanij, to spletajushchie chetnost' preobrazovaniya mozhno traktovat' kak superanalog antigolomorfnykh preobrazovanij kompleksnoj ploskosti, kotorye obyazany byt' neobratimymi.

Drugim vazhnym svojstvom spletajushchikh chetnost' preobrazovanij yavlyaetsya nezamknutost' kompozitzii (kak, vprochem, i antigolomorfnykh preobrazovanij). Odnako, na peresechenii trekh superoblastej i vypolnyaetsya sledujushchij zakon umnozheniya preobrazovanij . Otsjuda vidno, chto mnozhestvo spletajushchikh chetnost' preobrazovanij yavlyaetsya pravym idealom dlya superkonformnykh preobrazovanij. Krome togo, vmesto standartnogo usloviya kotzikla na superrimanovoj poverkhnosti my opredelyaem "spletennyj kotzikl"

s mnozhitelyami razlichnoj chetnosti. Togda vozmozhno postroenie printzipial'no novykh raspredelenij i rassloenij, kotorye ne sokhranyajut chetnost', kak v klassicheskom sluchae.

Primenyaya anzatz oslableniya obratimosti mozhno obobshchit' i sami superkonformnye preobrazovaniya. Novaya parametrizatziya N=1 superkonformnoj gruppy pozvolila rasshirit' ee do polugruppy i unifitzirovat' opisanie starykh i novykh preobrazovanij. My nashli, chto postroennaya polugruppa prinadlezhit k novomu abstraktnomu tipu polugrupp, udovletvoryajushchim neobychnomu ideal'nomu umnozheniju

gde -- chleny postroennogo ideal'nogo ryada, imejushchego spetzificheskie svojstva. Iz etogo umnozheniya mozhno opredelit' kak pravyj i dvustoronnij povyshajushchij ideal, no obychnyj levyj ideal, chto govorit o netrivial'noj ideal'noj strukture N=1 superkonformnoj polugruppy.

Vvedeny i izucheny svojstva obobshchennykh vektornykh i tenzornykh otnoshenij Grina, takzhe opredeleny ideal'nye kvazikharaktery v superkonformnoj polugruppe.

Issledovanie svojstv drobno-linejnykh N=1 redutzirovannykh preobrazovanij provoditsya v terminakh nechetnykh analogov minorov dlya supermatritz -- poluminorov, kotorye yavlyajutsya polumatritzami vida (a,b -- chetnye, -- nechetnye) i opisyvajut vrashchajushchie chetnost' otobrazheniya linejnykh dvumernykh superprostranstv i . Opredeleno otobrazhenie -- polutransponirovanie, svyazyvajushchee polumatritzy s matritzami . Polutransponirovanie mozhno traktovat' kak izvlechenie kvadratnogo kornya iz khorosho izvestnogo operatora smeny chetnosti -- -transponirovaniya. Dlya opisaniya spletajushchikh chetnost' preobrazovanij vvodyatsya nechetnye analogi determinanta i permanenta ot polumatritz -- poludeterminant i polupermanent , kotorye nil'potentny i udovletvoryajut netrivial'nym sootnosheniyam. Poludeterminant dualen s determinantom v tom smysle, dlya neobratimykh preobrazovanij poludeterminant igraet rol', analogichnuju toj, kotoruju koren' iz obychnogo determinanta igraet dlya obratimykh preobrazovanij. Najdena chetno-nechetnaya simmetriya drobno-linejnykh N=1 superkonformnykh preobrazovanij, kotoraya sostoit v simmetrii otnositel'no odnovremennoj zameny determinanta na poludeterminant i chetnykh koordinat na nechetnye.

Najdeny i issledovany neobratimye superanalogi rasstoyaniya v (1|1)-mernom superprostranstve. Vveden neobratimyj TPt analog metriki ds po formulam

i sformulirovan neobratimyj analog invariantnosti -- "poluinvariantnost'" vvedennoj metriki.

Dalee izuchajutsya nelinejnye realizatzii redutzirovannykh superkonformno-podobnykh preobrazovanij, i v dopolnenie k vysheupomyanutym issledovaniyam, my vkljuchaem v rassmotrenie konechnye preobrazovaniya i uchityvaem ikh neobratimost'. Rassmotrena traktovka nelinejnykh realizatzij kak dvizhenie nechetnoj krivoj v superprostranstve i polucheny predstavleniya dlya konechnykh obratimykh i neobratimykh N=1 superkonformnykh preobrazovanij, a takzhe dlya spletajushchikh chetnost' preobrazovanij kak uravnenij dlya SCf goldstino i TPt goldstino.

Sootnoshenie mezhdu linejnoj i nelinejnoj realizatziyami izucheny v ramkakh diagrammnogo podkhoda, gde preobrazovanie igraet rol' linejnogo preobrazovaniya, preobrazovanie yavlyaetsya nelinejnym (v obratimom sluchae -- iz podgruppy ), v to vremya, kak i sootvetstvujut kosetnym preobrazovaniyam s goldstounovskimi polyami kak parametrami. Dlya konechnykh redutzirovannykh obratimykh i neobratimykh preobrazovanij s uchetom ikh tablitzy umnozheniya polucheny sledujushchie vozmozhnye predstavleniya

(vtoroe uravnenie yavlyaetsya novym) i sootvetstvujushchie komponentnye uravneniya, kotorye resheny v chastnykh sluchayakh.

V razdele "Neobratimaya geometriya rasshirennykh redutzirovannykh preobrazovanij" rassmotreny N=2 i N=4 redutzirovannye obratimye i neobratimye otobrazheniya. Polucheno obshchee vyrazhenie dlya bereziniana rasshirennykh preobrazovanij v terminakh poluminorov supermatritz kasatel'nogo (1|N)-mernogo prostranstva v kompleksnom bazise.

Sformulirovany teoremy slozheniya N=2 i N=4 berezinianov, otkuda sledujut vozmozhnye reduktzii (1|N)-mernykh kasatel'nykh prostranstv. Netrivial'nykh reduktzij okazyvaetsya N+1, chto privodit k N-obobshcheniju ponyatiya kompleksnoj struktury: dlya N-redutzirovannykh preobrazovanij imeetsya 1 chetnyj (obratimyj ili neobratimyj) superkonformnyj (SCf) superanalog golomorfnykh preobrazovanij i N nechetnykh neobratimykh spletajushchikh chetnost' (TPt) superanalogov antigolomorfnykh preobrazovanij.

Podrobno klassifitzirovany N=2 i N=4 superkonformnye preobrazovaniya s ispol'zovaniem permanentov. Poluchen obshchij vid bereziniana dlya obratimykh N-SCf preobrazovanij

gde -- matritza proizvodnykh v kompleksnom bazise i .

V chastnom sluchae N=2 polucheno vyrazhenie bereziniana cherez permanent

Provedena klassifikatziya v terminakh permanentov obratimykh i neobratimykh rasshcheplennykh superkonformnykh preobrazovanij, opisyvajushchikh spinovye struktury na obyknovennoj rimanovoj poverkhnosti i igrajushchikh vazhnuju rol' v raschete superstrunnykh amplitud.

Postroeny N=2 i N=4 superkonformnye polugruppy v al'ternativnoj parametrizatzii i podrobno issledovany ikh svojstva. Privedeno komponentnoe predstavlenie. Opredeleny i obsuzhdajutsya svojstva spletajushchikh chetnost' preobrazovanij i sootvetstvujushchikh superdifferentzialov, dual'nykh sootvetstvujushchim superproizvodnym.

Razdel "Supermatrichnye polugruppy, ideal'noe stroenie i reduktzii" posvyashchen postroeniju i issledovaniju ideal'nykh svojstv supermatritz. Na primere supermatritz izucheno ikh neobratimoe stroenie i opredelyaetsya dva tipa vozmozhnykh reduktzij: chetno-redutzirovannye (treugol'nye) supermatritzy i nechetno-redutzirovannye (antitreugol'nye) supermatritzy . Dlya nikh spravedliva teorema slozheniya berezinianov

Izucheny mul'tiplikativnye svojstva nechetno-redutzirovannykh supermatritz, kotorye privodyat k vyvodu o tom, chto nechetno-redutzirovannyj morfizm mozhet predstavlyat'sya v kachestve proizvedeniya nechetno- i chetno-redutzirovannykh morfizmov, takovykh, chto

sootvetstvuyuschaya diagramma, kotoraya otvetstvenna takzhe i za spletennye kotzikly v redutzirovannykh superkonformnykh preobrazovaniyakh, kommutativna.

Postroena polugruppa mnozhestv redutzirovannykh matritz. Mnozhestva chetno- i nechetno-redutzirovannykh supermatritz ob`edinyajutsya v nekotoruju sendvich-polugruppu s nesimmetrichnym umnozheniem, zavisyashchim ot vtorogo somnozhitelya. Polugruppa mnozhestv redutzirovannykh matritz izomorfna nekotoroj polugruppe pravykh nulej s sendvich-umnozheniem.

Chtoby postroit' analogichnuju sendvich-polugruppu s umnozheniem ne mnozhestv, a samikh supermatritz, vvoditsya nechetnyj antikommutirujushchij analog (antiskalyar) dlya skalyarnoj supermatritzy (skalyara) po formulam . Togda pryamaya summa skalyara i antiskalyara sovpadaet so strannoj podalgebroj Berezina . Opredelyaetsya v etoj svyazi takzhe pravoe i levoe antitransponirovaniya, kotorye imejut smysl kornya iz operatora smeny chetnosti , poskol'ku . Togda konkretnaya realizatziya nechetnogo pravogo, levogo i dvustoronnego modulej imeet vid

gde, v otlichie ot standartnogo supermodulya, v pravoj chasti poyavilis' antitransponirovaniya i operator smeny chetnosti. Nakhozhdenie novykh tipov nechetnykh modulej yavlyaetsya iskljuchitel'no vazhnym dlya postroeniya i primeneniya novykh tipov supermnogoobrazij i polusupermnogoobrazij.

Chtoby poluchit' ob`edinennoe umnozhenie chetno- i nechetno-redutzirovannykh supermatritz i postroit' sootvetstvujushchuju polugruppu, vvedennye antiskalyary ispol'zovalis' naravne so skalyarami. Esli traktovat' obychnoe umnozhenie supermatritz kak sendvich-umnozhenie so skalyarom , to sendvich-umnozhenie redutzirovannykh supermatritz (s "superpolem" ) opredelitsya kak

Poskol'ku sendvich-umnozhenie assotziativno, redutzirovannye supermatritzy obrazujut polugruppu, kotoraya izomorfna polugruppe pravykh nulej.

Rassmotrena takzhe rol' nechetnykh modulej i antiskalyarov v pryamoj summe mnozhestv redutzirovannykh supermatritz, gde vvedenny nechetnye analogi sobstvennykh chisel, kharakteristicheskikh funktzij (po formule vmesto ) i sformulirovana obobshchennaya teorema Gamil'tona-Yakobi.

Vazhnuju rol' v supersimmetrichnykh teoriyakh igrajut nepreryvnye polugruppy redutzirovannykh supermatritz. Rassmotrena i podrobno proanalizirovana ideal'naya struktura mnogoparametricheskikh polugrupp nechetno-redutzirovannykh supermatritz. Pokazano, chto obshchij vid supermatritz, obrazujushchikh polugruppu (-polugruppu), est'

i ikh podmnozhestvo v mnozhestve vsekh matritz yavlyaetsya slabym idealom, kotoryj dlya nekotorogo opredelyaetsya sledujushchim sootnosheniem .

Obnaruzheno, chto odno- i dvukhparametricheskie polugruppy nechetno-redutzirovannykh idempotentnykh supermatritz vida i (, u,t -- parametry) nepreryvno predstavlyajut polugruppy levykh nulej i pryamougol'nye svyazki sootvetstvenno. Eto predstavlenie yavlyaetsya netochnym, poskol'ku net reduktivnosti i sokrashcheniya. Poetomu standartnoe otnoshenie ravenstva zamenyaetsya na -otnoshenie . Polugruppa obladaet neobychnym svojstvom -- ona yavlyaetsya regulyarnoj, no ne inversnoj. Dlya nee takzhe najdeny otnosheniya Grina: -ekvivalentnost' sovpadaet s universal'nym otnosheniem, a -ekvivalentnost' ravna -otnosheniju (a ne ). Polucheno ob`edinenie odnoparametricheskikh polugrupp v nekotoruju netrivial'nuju polugruppu -- skruchennuju pryamougol'nuju svyazku, dlya kotoroj vypisana tablitza Keli i najdeny vse podpolugruppy.

Rassmatrivajutsya supermatrichnye predstavleniya vysshikh -svyazok kak obobshchenij pryamougol'nykh svyazok, kotorye ne mogut byt' svedeny k proizvedeniju poslednikh. Dlya nikh opredelyajutsya vysshie -otnosheniya , kotorym ravny sootvetstvujushchie -ekvivalentnosti. Vychisleny otnosheniya Grina dlya -svyazok i ustanovlen smysl standartnykh -klassov dlya supermatritz. Dalee my opredelyaem bolee obshchie otnosheniya i nazyvaem ikh tonkimi otnosheniyami ekvivalentnosti. Takie obobshchennye otnosheniya Grina neobkhodimy dlya opisaniya vsekh vozmozhnykh klassov elementov v -svyazkakh, propushchennykh v standartnom podkhode. Iz tonkikh ekvivalentnostej my mozhem poluchat' takzhe i vse izvestnye otnosheniya. Naprimer, v sluchae -svyazki, , , no dopolnitel'no nakhodim smeshannye otnosheniya vida , i vysshikh poryadkov

Dlya kazhdogo smeshannogo -klassa my mozhem postroit' smeshannuju eggbox diagrammu tonkikh -klassov, kotoraya budet takoj razmernosti, skol'ko slagaemykh imeet v svoej pravoj chasti zadannoe smeshannoe otnoshenie. A imenno, eggbox diagrammy -klassov dvumerny, a diagrammy i -klassov dolzhny byt' trekhmerny. V sluchae -svyazki neobkhodimo rassmatrivat' vse vozmozhnye k-razmernye eggbox diagrammy, gde . Vvedennye tonkie otnosheniya ekvivalentnosti dopuskajut podpolugruppovuju interpretatziju: standartnye otnosheniya Grina na podpolugruppe polugruppy imejut kak svoj analog prodolzhennye obrazy v , a imenno tonkie otnosheniya ekvivalentnosti na .

V razdele "Permanenty, scf-matritzy i neobratimaya giperbolicheskaya geometriya" detal'no issledovany svojstva matritz, soderzhashchikh nil'potentnye elementy i deliteli nulya, vpolne opredelennyj tip kotorykh voznikaet pri analize N-rasshirennykh redutzirovannykh preobrazovanij. Dlya takikh matritz permanenty nachinajut igrat' dual'nuju (po otnosheniju k determinantam) rol', poetomu vazhno rassmotret' eti dual'nye svojstva v obshchem sluchae nil'potentnykh matritz, chto mozhet byt' primeneno i v drugikh modelyakh, ispol'zujushchikh supersimmetriju v kachestve osnovopolagajushchego printzipa.

Vvedeno ponyatie scf-matritzy iz chetnykh elementov, obladajushchikh scf-svojstvom opredelennoj ortogonal'nosti ee blokov mezhdu soboj. V obratimom sluchae scf-matritzy podobny ortogonal'nym matritzam. Tak, dlya matritzy scf-svojstvo sostoit v ortogonal'nosti elementov stolbtzov, i dlya nikh imeet mesto dual'nost' mezhdu permanentom i determinantom i mezhdu minorami i algebraicheskimi dopolneniyami

Sformulirovan kriterij obratimosti scf-matritz v terminakh permanentov, a ne determinantov. Predlozhena novaya formula dlya per-obratnoj scf-matritzy, kotoraya v obratimom sluchae imeet vid

Otlichie ot standartnogo sluchaya voznikaet lish' dlya neobratimykh scf-matritz. Polucheny formuly, svyazyvajushchie sled, permanent i determinant, a takzhe formula Bine-Koshi dlya permanentov

kotoraya sovpadaet s analogichnoj formuloj dlya determinantov tol'ko v sluchae scf-matritz. Opredelyaetsya polugruppa scf-matritz , podgruppa kotoroj izomorfna i dlya kotoroj najdeny idealy i usloviya obratimosti pri N=2 i N=4.

Dalee predlagaetsya ispol'zovat' scf-matritzy dlya izucheniya drobno-linejnykh (obratimykh i neobratimykh) preobrazovanij superprostranstv , nazyvaemykh per-otobrazheniyami. Pokazano, chto dlya per-otobrazhenij imeet mesto simmetriya vo vsekh osnovnykh sootnosheniyakh giperbolicheskoj geometrii.

Najden novyj invariant per-otobrazhenij-- pravoe dvojnoe otnoshenie , kotoroe naryadu s izvestnym levym dvojnymi otnosheniyami yavlyaetsya sledujushchej funktziej chetyrekh tochek

Eto privodit k novym morfizmam gruppy perestanovok, zerkal'noj per-garmonicheskoj posledovatel'nosti tochek i k per-analogu klassicheskoj formuly Laggera, a takzhe funktziya, kotoruju mozhno traktovat' kak per-analog proizvodnoj Shvartza. Dva dvojnykh otnosheniya dajut dva -- pravoe i levoe -- giperbolicheskikh rasstoyaniya

V terminakh pravogo dvojnogo otnosheniya i pravogo rasstoyaniya mozhno posledovatel'no postroit' per-analog giperbolicheskoj geometrii i trigonometrii na kompleksnoj superploskosti ili v mnogomernykh kompleksnykh superprostranstvakh.

V Zakljuchenii sformulirovany osnovnye rezul'taty dissertatzionnoj raboty.

V Prilozheniyakh privedeny neobkhodimye svedeniya po superalgebram, otdel'nye aspekty teorii supermnogoobrazij i superrimanovykh poverkhnostej, dopolnitel'nye fakty iz teorii polugrupp, a takzhe nekotorye vykladki, ne voshedshie v osnovnoj tekst.

1. Postroena teoriya neobratimykh supermnogoobrazij -- polusupermnogoobrazij, neobratimykh rassloenij i gomotopij, chto yavlyaetsya osnovoj matematicheskogo apparata supersimmetrichnykh modelej elementarnykh chastitz.
   1. Poluchena formulirovka polusupermnogoobrazij v terminakh funktzij perekhoda, najdeny obobshchennye usloviya kotzikla, novyj tip orientiruemosti.
   2. Predlozhen obshchij printzip polukommutativnosti dlya neobratimykh morfizmov.
   3. Sformulirovany neobratimye analogi rassloenij -- polurassloeniya -- v terminakh uravnenij na funktzii perekhoda, izucheny morfizmy polurassloenij.
   4. Vvedeny polugomotopii s neobratimym chetnym ili nechetnym superparametrom.
2. Postroena i issledovana v terminakh teorii polugrupp neobratimaya superkonformnaya geometriya na superploskosti, neobkhodimaya dlya formulirovki superstrunnykh teorij elementarnykh chastitz.
   1. Postoroena superanaliticheskaya polugruppa i dano opredelenie superanaliticheskikh polusupermnogoobrazij.
   2. Rassmotreny dopolnitel'nye reduktzii kasatel'nogo superprostranstva s uchetom neobratimosti. Oni privodyat k obobshcheniju ponyatiya kompleksnoj struktury na neobratimyj sluchaj.
   3. Najdeny novye neobratimye preobrazovaniya -- spletajushchie chetnost' preobrazovaniya, kotorye dual'ny superkonformnym v smysle poluchennoj formuly slozheniya berezinianov i yavlyajutsya neobratimym superanalogom antigolomorfnykh preobrazovanij. Oni vrashchajut chetnost' v kasatel'nom superprostranstve i privodyat k poyavleniju novogo tipa kotziklov -- spletennykh kotziklov. Edinym obrazom opisany oba tipa redutzirovannykh preobrazovanij s pomoshch'ju al'ternativnoj parametrizatzii, v kotoroj perekljuchenie mezhdu nimi proizvoditsya vvedennym spinom reduktzii, ravnym polovina i N/2 dlya rasshirennykh N-preobrazovanij.
   4. Postroena N=1 superkonformnaya polugruppa, prinadlezhashchaya k novomu abstraktnomu tipu polugrupp, kotorye imejut neobychnuju ideal'nuju strukturu. Opredeleny obobshchennye vektornye i tenzornye otnosheniya Grina.
   5. Issledovany drobno-linejnye neobratimye redutzirovannye preobrazovaniya v terminakh poluminorov i polumatritz, dlya kotorykh opredeleny funktzii polupermanenta i poludeterminanta (dual'nogo kornju iz obychnogo determinanta). Najdena chetno-nechetnaya simmetriya drobno-linejnykh N=1 superkonformnykh preobrazovanij, kotoraya sostoit v simmetrii otnositel'no odnovremennoj zameny determinanta na poludeterminant i chetnykh koordinat na nechetnye.
   6. Najdeny neobratimye superanalogi rasstoyaniya v (1|1)-mernom superprostranstve. Vveden neobratimyj analog metriki i pokazana ee poluinvariantnost'.
   7. Izucheny nelinejnye realizatzii N=1 redutzirovannykh preobrazovanij i najden novyj tip goldstino kak reshenie, sootvetstvujushchee spletajushchim chetnost' preobrazovaniyam.
   8. Issledovana neobratimaya geometriya na N=2 i N=4 rasshirennoj superploskosti. Postroeny N=2 i N=4 superkonformnye polugruppy v al'ternativnoj parametrizatzii. Obobshchaetsya na proizvol'noe N ponyatie kompleksnoj struktury na superploskosti.
3. Postroeny supermatrichnye polugruppy i issledovany ikh ideal'nye svojstva i netrivial'nye reduktzii, primenyaemye v fenomenologii supersimmetrichnykh modelej elementarnykh chastitz.
   1. Najdeno neskol'ko vozmozhnostej ob`edinit' antitreugol'nye supermatritzy s treugol'nymi v sendvich-polugruppy s neobychnymi svojstvami.
   2. Polucheny novye tipy nechetnykh supermodulej i antitransponirovaniya, predstavleniya strannoj superalgebry Berezina.
   3. Vvedeny nechetnye analogi sobstvennykh chisel, kharakteristicheskikh funktzij i sformulirovana obobshchennaya teorema Gamil'tona-Yakobi.
4. Obnaruzheno, chto polugruppovye svyazki nepreryvno predstavlyajutsya supermatrichnymi polugruppami antitreugol'nogo vida.
   1. Polucheno ob`edinenie odnoparametricheskikh polugrupp v nekotoruju netrivial'nuju polugruppu -- skruchennuju pryamougol'nuju svyazku.
   2. Opredeleny vysshie svyazki i dlya nikh vvedeny obobshcheniya otnoshenij Grina -- tonkie i smeshannye otnosheniya ekvivalentnosti. Dlya nikh postroeny mnogomernye diagrammy.
5. Issledovany neobratimye svojstva matritz, soderzhashchikh nil'potentnye elementy i deliteli nulya i voznikajushchikh v N-rasshirennoj superkonformnoj geometrii.
   1. Najdena dual'nost' mezhdu permanentom i determinantom i mezhdu minorami i algebraicheskimi dopolneniyami, predlozhena novaya formula dlya obratnoj matritzy cherez permanent i minory.
   2. Izucheny obratimye i neobratimye drobno-linejnye preobrazovaniya spetzial'nogo vida, dlya kotorykh najden novyj vid simmetrii.
   3. Postroena neobratimaya giperbolicheskaya geometriya na superploskosti, v kotoroj imeetsya dva razlichnykh invariantnykh dvojnykh otnosheniya i, sootvetstvenno, dva rasstoyaniya.

Takim obrazom, provedennye issledovaniya geometricheskikh i simmetrijnykh aspektov supersimmetrichnykh i superstrunnykh modelej elementarnykh chastitz, poluchennye konkretnye analiticheskie i obshchenauchnye rezul'taty mozhno kvalifitzirovat' kak novoe nauchnoe napravlenie, sostoyashchee v postroenii novoj modeli elementarnykh chastitz na osnove bolee abstraktnykh kategornykh ponyatij i bazovykh vnutrennikh struktur.

K perspektivam dal'nejshego razvitiya etogo napravleniya mozhno otnesti poisk novykh proyavlenij neobratimykh i polugruppovykh svojstv v sovremennoj teorii superstrun i supermembran, prodvizhenie v storonu konkretnykh raschetov vozmozhnykh dopolnitel'nykh vkladov v fermionnye amplitudy i nabljudaemye, a takzhe razrabotka obshchikh printzipov postroeniya supersimmetrichnykh modelej elementarnykh chastitz na osnove sootvetstvujushchikh teorij polugrupp.

1. Duplij S. On semigroup nature of superconformal symmetry // J. Math. Phys. - 1991. - V. 32. - N 11. - P. 2959-2965.
2. Duplij S. On N=4 super Riemann surfaces and superconformal semigroup // J. Phys. - 1991. - V. A24. - N 13. - P.  3167-3179. (abstract ps)
3. Duplij S. Semigroup of N=1,2 superconformal transformations and conformal superfields // Acta Phys. Pol. - 1990. - V. B21. - N 10. - P. 783-811. (abstract ps)
4. Duplij S. Towards gauge principle for semigroups // Acta Phys. Pol. - 1992. - V. B23. - N 7. - P. 733-743.
5. Duplij S. Some abstract properties of semigroups appearing in superconformal theories // Semigroup Forum. - 1997. - V. 54. - N 2. - P. 253-260. (hep-th/9505179, [abs, ps])
6. Duplij S. On an alternative supermatrix reduction // Lett. Math. Phys. - 1996. - V. 37. - N 3. - P. 385-396. (alg-geom/9506004, [abs, ps])
7. Duplij S. Noninvertible N=1 superanalog of complex structure // J. Math. Phys. - 1997. - V. 38. - N 2. - P. 1035-1040. (alg-geom/9510013, [abs, ps])
8. Duplij S. Supermatrix representations of semigroup bands // Pure Math. Appl. - 1996. - V. 7. - N 3-4. - P. 235-261. (funct-an/9609002, [abs, ps])
9. Duplij S. Noninvertibility and ''semi-'' analogs of (super) manifolds, fiber bundles and homotopies. - Kaiserslautern: 1996. - 30 p. ( Preprint / Univ. Kaiserslautern; KL-TN-96/10, q-alg/9609022, [abs, ps]).
10. Duplij S. Nonlinear realization of N=1 superconformal-like transformations. - Kaiserslautern: 1998. - 15 p. ( Preprint / Univ. Kaiserslautern; KL-TN 98/02).
11. Duplij S. A. Ideal'naya struktura superkonformnykh polugrupp // Teor. mat. fiz. - 1996. - T. 106. - N 3. - S. 355-374.
12. Duplij S. A. Ob N=1 superkonformnoj invariantnosti // Yadernaya fizika. - 1990. - T. 52. - N 4(10). - S. 1169-1175.
13. Duplij S. A. O tipakh N=2 superkonformnykh preobrazovanij // Teor. mat. fiz. - 1991. - T. 86. - N 1. - S. 138-143.
14. Duplij S. A. Ob N=2 superkonformnykh preobrazovaniyakh // Probl. yad. fiz. i kosm. luchej. - 1990. - T. 33. - S. 22-38.
15. Duplij S. A. Nil'potentnaya mekhanika i supersimmetriya // Probl. yad. fiz. i kosm. luchej. - 1988. - T. 30. - S. 41-49.
16. Duplij S. A. Poiski supersimmetrichnykh partnerov na uskoritelyakh vysokikh energij. I // Probl. yad. fiz. i kosm. luchej. - 1985. - T. 24. - S. 82-96.
17. Duplij S. A. Poiski supersimmetrichnykh partnerov na uskoritelyakh vysokikh energij. II // Probl. yad. fiz. i kosm. luchej. - 1986. - T. 26. - S. 1-22.

Razlichnye voprosy, svyazannye s materialom dissertatzii, intensivno i mnogokratno obsuzhdalis' na konferentziyakh i seminarakh s takimi uchenymi, kak Ader J.-P., Aspinwall P., Carinena J. F., Ciric M., Comtet A., de Wit B., Deligne P., Duff M. J., Gates J., Grisaru M. T., Nowie J. M., Kupsch J., Lawson M. V., Lukierski J., Markl M., Nieuwenhuizen P., O'Raifeartaigh L., Preston G. B., Ruhl W., Rabin J. M., Schein B. M., Sezgin E., Stasheff J., Tucker R. W., Umble R., Wess J., Wightman A. S., Akulov V. P., Alekseevskij D. V., Arinkin D., Bessmertnyj M. F., Vaksman L. L., Voronov A. A., Gromov N. A. Demichev A. P., Drinfel'd V. G., Zima V. G., Kapustnikov A. A., Kurennoj G. Ch., Lejtes D. A., Manin Ju. I., Natanzon S. M., Novikov B. V., Pashnev A. I., Serganova  V., Sinel'shchikov S. S., Stepanovskij Ju. P., Faddeev L. D., Khrennikov A. Ju., kotorym avtor vyrazhaet iskrennjuju i glubokuju blagodarnost' za plodotvornye diskussii.