Seminar Gromov-hyperbolische Räume im Sommersemester 2018
Prof. Dr. Joachim Lohkamp, Matthias Kemper
Erster Blocktermin: Freitag, 1. Juni 2018 von 10:30 Uhr bis 15 Uhr im Raum 311.
Zweiter Blocktermin: Freitag, 29. Juni 2018 von 12:00 Uhr bis 16 Uhr im Raum 311.
In hyperbolischen Flächen sehen Dreiecke »dünner« aus als im euklidischen Raum. Diese Eigenschaft lässt sich wie folgt auf metrische Räume verallgemeinern: Ein geodätischer metrischer Raum heißt δ-hyperbolisch für ein δ>0 oder Gromov-hyperbolisch, falls jede Seite eines geodätischen Dreiecks in der δ-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Seiten enthalten ist. Diese Eigenschaft erfasst die Geometrie im Großen, alle Unebenheiten auf Skalen <δ werden ignoriert. Man kann Gromov-hyperbolischen Räumen auf natürliche Art und Weise einen »Rand im Unendlichen« zuordnen, der die asymptotische Struktur des Raumes kodiert.
Von besonderem Interesse sind (endlich erzeugte) Gruppen, deren Cayley-Graph Gromov-hyperbolisch ist (in diesem Zusammenhang verwendete auch M. Gromov den Begriff zuerst). Viele klassische Probleme der Gruppentheorie lassen sich für diese hyperbolischen Gruppen deutlich leichter (oder überhaupt) lösen, was es umso erstaunlicher macht, dass in einem gewissen Sinne »die meisten« Gruppen hyperbolisch sind.