Praktikum „Anwendungen Partieller Differentialgleichungen“
Studenten der Mathematik bearbeiteten in diesem Praktikum Modelle mit partiellen Differentialgleichungen. Diese Seite gibt einen kurzen Themenüberblick.
Optionsbewertung
Abstract: Ein typisches Merkmal heutiger Finanzmärkte ist der ausgeprägte Handel mit Optionen, d.h. mit Verträgen, die einem garantieren, ein Produkt in der Zukunft zu einem vorher festgelegten Preis kaufen (Call-Option) oder verkaufen (Put-Option) zu können. Optionen tragen der Absicherung gegen unerwünschte Preisschwankungen bei. Man unterscheidet bei dem Zeitpunkt der Optionseinlösung zwischen Europäischen (Einlösung nur bei Laufzeitende) und Amerikanischen (Einlösung während der gesamten Laufzeit) Optionen. Aktienkursverläufe lassen sich mit Hilfe der Brownschen Bewegung simulieren.
Übernahmespekulationen, veröffentlichte Gewinnerwartungen oder Bankenkrisen können zu plötzlichen starken Aktienkursänderungen führen. Die Modellierung durch einen Wiener Prozess ist daher nicht ausreichend und muss hinsichtlich dieser Kurssprünge modifiziert werden. Sowohl für Kursverläufe mit Sprüngen als auch für solche ohne Sprüngen wurden numerische Berechnungen der Optionswerte auf Grundlage der Black-Scholes-Gleichung durchgeführt. Verschiedene Restlaufzeiten wurden miteinander verglichen und numerische, diskretisierte Lösungen analytischen Lösungsfunktionen gegenübergestellt.
Studierende: Christof Heuer und Fabian Lenz.
Abschlusspräsentation: Folien
Optimierung der Geometrie eines Kühlkörpers
Abstract: Elektrische Bauteile erzeugen im Betrieb Abwärme. Diese muss häufig in geeigneter Form abgeleitet werden, um das Bauteil vor Überhitzung zu schützen. Als Beispiele betrachte man Mikroprozessoren oder Brennstoffzellen. Eine Möglichkeit zur effizienten Wärmeabführung ist die Verwendung von Kühlkörpern. Über eine Kontaktfläche zum wärmeerzeugenden Bauteil wird die entstehende Hitze auf das metallische Material des Kühlkörpers übertragen. Um den Wärmeaustausch mit der Umgebung zu maximieren, ist man bestrebt, die Oberfläche des Kühlkörpers möglichst groß zu gestalten, weshalb Kühlkörper meist aus mehreren dünnen, metallischen Kühlrippen bestehen.
Bei diesem Projekt ging es darum, die Geometrie des Kühlkörpers zu optimieren mit dem Ziel, dass die Wärme möglichst gut von der Kontaktfläche abgeleitet wird. Modelliert wird die Temperaturverteilung auf dem Gebiet des Kühlkörpers durch die stationäre Wärmeleitungsgleichung in 2D. Als Optimierungsvariablen dienen bestimmte Parameter, welche die Geometrie des Körpers vollständig beschreiben. Zur Implementierung des Problems wurde die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet.
Studierende: Johann Jakob Preuß und Jan Michael Schulte.
Abschlusspräsentation: Folien
