Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 7, Abgabe: 01.12.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 25: (4 Punkte) Zu lösen sei x^{2} − 2px − q = 0 für p = 1, q = 0.0002. Berechnen Sie die Lösungen x_{1}, x_{2} auf einem Rechner Ihrer Wahl nach der Formel

\begin{aligned}(a) & d & = & p^{2} + q & , & x_{1} & = & p + \sqrt{d} & , & x_{2} & = & p − \sqrt{d} \\ (b) & d & = & p^{2} + q & , & x_{1} & = & p + \sqrt{d} & , & x_{2} & = & q/x_{1} . \end{aligned}

Wie groß sind die relativen Fehler? Erklären Sie die unterschiedlichen Resultate.

Aufgabe 26: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß der Fixpunkt x aus Beispiel 2 zu Satz 3.1.1 ein Marktgleichgewicht liefert.

Aufgabe 27: (4 Punkte) Lösen Sie die Gleichung

2x − sin(x) = 0.5

mit Hilfe des Taschenrechners und des Banachschen Fixpunktsatzes mit einer Genauigkeit von 1% .

Aufgabe 28: (Programmieraufgabe, 4 Punkte)

(a) Schreiben Sie ein Programm zur Intervallhalbierung.

(b) Berechnen Sie damit die kleinste positive Lösung der Gleichung tan x = tanh x mit einer Genauigkeit von mindestens 1 %.