Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 5, Abgabe: 17.11.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 17: (4 Punkte) A sei eine (n, n)-Matrix über C. Zeigen Sie:

(a) ∥A∥_{2} = ρ(A^{∗}A)^{1/2}.

(b) Sei ∥x∥_{1} = ∑_{i=1}^{n} |x_{i}| für x ∈ C^{n}. Für die zugeordnete Matrixnorm ∥ · ∥_{1} gilt

∥A∥_{1} = max_{j} ∑_{i} |a_{ij}| .

Aufgabe 18: (4 Punkte)

a) Sei A hermitesche, invertierbare (n, n)-Matrix.

Seien λ_{max}, λ_{min} der betragsgrößte bzw. betragskleinste Eigenwert von A. Zeigen Sie:

k_{2}(A) = \frac{|λ_{max}|}{|λ_{min}|} .

b) Es sei bekannt, daß in der Gleichung

Ax = b , A = ( \begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}5 \\ 5 \end{matrix} ) ,

A und b in der ∥ · ∥_{2}-Norm jeweils einen maximalen relativen Fehler von 0.05 aufweisen. Welche relative Genauigkeit können Sie für x garantieren?

Aufgabe 19: (4 Punkte) Sei A eine reelle (n, n)-Matrix.

(a) Zeigen Sie, daß die QR-Zerlegung von A nach Householder \frac{2}{3}n^{3} + O(n^{2}) Rechenoperationen erfordert.

(b) Sei A eine Hessenberg-Matrix, d.h. a_{i,j} = 0 für i > j+1. Wieviele Rechenoperationen braucht die QR - Zerlegung von A nach Householder?

(Angabe an^{b} + O(n^{b−1}) genügt.)

Zeigen Sie, daß auch Q Hessenbergform hat.

Aufgabe 20: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Der Gezeitenwasserstand in der Nordsee werde in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) durch

H(t) = h + a sin \frac{2πt}{12} + b cos \frac{2πt}{12}

mit unbekannten Konstanten h, a, b beschrieben. Folgende Meßwerte liegen vor:

\begin{matrix}t | & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & Stunden \\ H(t) | & 1.0 & 1.6 & 1.4 & 0.6 & 0.2 & 0.8 & m \end{matrix}

Bestimmen Sie h, a, b aus dem überbestimmten Gleichungssystem H(t_{i}) = h_{i}, t_{i} = 0, 2, …, 10.

Verwenden Sie dazu die Programme aus Aufgabe 16.