Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 3, Abgabe: 03.11.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 9: (4 Punkte) Die (n, n)-Matrix A besitze eine LR-Zerlegung mit ℓ_{ii} = 1, i = 1, …, n. Zeigen Sie:

(a) L, R mit dieser Eigenschaft sind eindeutig bestimmt, falls A nicht singulär ist.

(b) Ist A nicht singulär und von Bandbreite m (d.h. a_{ij} = 0 für |i − j| > m), so gilt dies auch für L und R.

(c) Hat A obere Hessenberg-Form (d.h. a_{ij} = 0 für i − j > 1), und ist A nicht singulär, so kann man die LR-Zerlegung in \frac{1}{2}n^{2} + O(n) flops herstellen.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Sei T eine reelle, symmetrische (n, n) Tridiagonalmatrix mit positiven Außerdiagonalelementen. Sei (u^{ℓ})_{ℓ=1,2,...} eine Folge von Vektoren mit

u^{ℓ+1} = T u^{ℓ} , u^{1} = ( 1 0 ⋮ 0 ) .

Zeigen sie, daß T durch die Zahlen g_{ℓ} = u_{1}^{ℓ}, ℓ = 1, …, 2n−1 , bis auf das (n, n)−Element, eindeutig bestimmt ist und geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung von T an. \underline{Hinweis:} Betrachten Sie die (n, n)−Matrix U = (u^{1}, …, u^{n}) und zeigen Sie, daß man U durch Cholesky - Zerlegung einer geeigneten, aus den g_{ℓ} gebildeten Matrix G erhält.

Aufgabe 11: (4 Punkte) Bestimmen Sie von Hand die Cholesky-Zerlegung von A und lösen Sie Ax = b:

A = ( \begin{matrix}4 & 6 & 10 \\ 6 & 13 & 13 \\ 10 & 13 & 27 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}6 \\ 19 \\ 9 \end{matrix} ) .

Aufgabe 12: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm ludcmp (A, p, n) zur LR-Zerlegung der (n, n)-Matrix A. Das Programm soll maximale Spaltenpivotsuche ausführen und auch für singuläre Matrizen arbeiten. L (mit Ausnahme der Diagonalen) soll unterhalb der Diagonalen von A, R in und oberhalb der Diagonalen gespeichert werden. Der Vektor p enthält die ausgeführten Permutationen. Lösen Sie mit ihrem Programm das Gleichungssystem aus Aufgabe 8(b).