Prof. Dr. H. Maurer WS 94

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 4, Abgabe: Fr, 11.11.1994, 11.00 Uhr Aufgabe 13: (2 + 2 Punkte) Formen Sie die Ausdrücke

(a) y = \frac{1}{1+2z} − \frac{1−z}{1+z}

(b) y = \frac{1−cos(x)}{x^{2}} so um, daß für kleine (positive) x keine Auslöschung auftritt. Aufgabe 14: (2 + 1 Punkte) Sei f : IR^{3} → IR gegeben durch f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2}(x_{2} − x_{3})^{2}.

(a) Bestimmen Sie die Verstärkungsfaktoren k_{1i}(x), i = 1, 2, 3.

(b) Sei x̃ = x + Δx eine Näherung von x = (2.00, 1.00, 0.98) mit |Δx_{i}| ≤ 0.005. Schätzen Sie mit Hilfe der Verstärkungsfaktoren den relativen Fehler von f ab.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Der Ausdruck y = ℓn(x − \sqrt{x^{2} − 1}) soll für x = 30 berechnet werden. Die Wurzel w = \sqrt{x^{2} − 1} werde hierbei einer 5-stelligen Tafel entnommen:

w = \sqrt{899} ≈ 29.983 .

(a) Wie groß wird der absolute Fehler?

(b) Man stabilisiere den Ausdruck durch Umformung und bestimme den absoluten Fehler bei der Auswertung des umgeformten Ausdruckes.

\underline{Hinweis:} Betrachten Sie geeignete Funktionen f(w) mit w = \sqrt{x^{2} − 1}. Aufgabe 16: (Programmieraufgabe) Zu berechnen sind die Integrale

I_{n} = \frac{1}{e} ∫_{0}^{1} e^{z}x^{n}dx (n = 0, 1, 2, …) .

(a) Man zeige 0 < I_{n+1} < I_{n}, \frac{1}{e(n+1)} < I_{n} < \frac{1}{n+1}.

(b) Man beweise die Rekursion

I_{n+1} + (n + 1)I_{n} = 1 , I_{0} = \frac{1}{e} (e − 1) . (∗)

(c) Berechnen Sie mittels (∗) die Zahlen I_{0} bis I_{30} und interpretieren Sie das Ergebnis.

(d) Nach (a) gilt \begin{matrix}lim \\ n → ∞ \end{matrix} I_{n} = 0. Setzen Sie daher I_{n} = 0 für n = 5, 10, 15, 20, 30 und berechnen Sie jeweils nach der Formel die Zahlen I_{n−1}, I_{n−2}, …, I_{0} rückwärts. Erklären Sie die sehr guten Werte für I_{0}.

Prof. Dr. H. Maurer WS 94

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 5, Abgabe: 18.11.1994, 11.00 Uhr

Aufgabe 17: (4 Punkte) Mit ∥ · ∥ werde eine Vektornorm des IR^{n} und die zugeordnete Matrix-Norm bezeichnet. Beweisen Sie:

(a) ∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥ für alle (n, n)-Matrizen A, B

(b) ∥A∥ = min{c ∈ IR | ∥Ax∥ ≤ c∥x∥ für alle x ∈ IR^{n}}.

Aufgabe 18: (3 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}4 5 \\ 5 6 \end{matrix} ) mit ( \begin{matrix}−6 & 5 \\ 5 & −4 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie cond(A) für die Normen ∥ · ∥_{1} , ∥ · ∥_{2} , ∥ · ∥_{F} , ∥ · ∥_{∞}.

Aufgabe 19: (3+1 Punkte) Die (n, n)-Matrix A sei diagonaldominant, d.h. es gelte |a_{ii}| > ∑_{k≠i} |a_{ik}| für i = 1, …, n.

(a) Beweisen Sie die Abschätzung

∥Ax∥_{∞} ≥ c∥x∥_{∞} für x ∈ IR^{n} , c := \begin{matrix}min \\ i = 1, …, n \end{matrix} (|a_{ii}| − ∑_{k≠i} |a_{ik}|)

und folgern Sie daraus die Abschätzung

cond_{∞}(A) ≤ ∥A∥_{∞}/c .

\underline{Hinweis:} Betrachten Sie ∥x∥_{∞} = |x_{r}| und ∥Ax∥_{∞} ≥ |(Ax)_{r}|

(b) Bei der Spline-Interpolation (§17) begegnet man der tridiagonalen Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & β_{1} \\ α_{2} & 1 & β_{2} & & O \\ & ... & ... & ... \\ O & & & & β_{n−1} \\ & & & α_{n} & 1 \end{matrix} ) , \begin{matrix}α_{i}, β_{i} > 0 \\ β_{1}, α_{n} ≤ 1/2, \\ α_{i} + β_{i} = 1/2 \\ (i = 2, …, n − 1) \end{matrix}

Geben Sie eine Abschätzung für cond_{∞}(A) an.

Aufgabe 20: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm cond(A, n) zur Berechnung der Konditionszahl einer regulären (n, n)-Matrix A zur Norm ∥ · ∥_{∞}. Testen Sie Ihr Programm an der Matrix

A = ( \begin{matrix}0.29412 & 0.41176 & 0.52941 & 0.58824 \\ 0.42857 & 0.57143 & 0.71429 & 0.64286 \\ 0.36842 & 0.52632 & 0.42105 & 0.36842 \\ 0.38462 & 0.53846 & 0.46154 & 0.38462 \end{matrix} ) .

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 6, Abgabe: 25.11.1994, 11.00 Uhr

Aufgabe 21: (1+2+2 Punkte) Sei f : IR^{n} → IR^{m} eine C^{1}-Abbildung. Ein Maß für die Kondition des Problems “Berechne y = f(x)” ist nach §2:

k_{abs}(x) = ∥f′(x)∥  (absolute Kondition) ,
k_{rel}(x) = ∥f′(x)∥ \frac{∥x∥}{∥f(x)∥} (relative Kondition)

für irgendeine Vektornorm ∥ · ∥ und zugeordnete Matrix-Norm.

(a) Sei A eine reguläre (n, n)-Matrix und f : IR^{n} → IR^{n} die Abbildung f(b) = A^{−1}b für b ∈ IR^{n}. Zeigen Sie

k_{abs}(b) ≤ ∥A^{−1}∥ , k_{rel}(b) ≤ ∥A∥ ∥A^{−1}∥ = cond (A) .

(b) Sei g : Gℓ(n) → Gℓ(n) die Abbildung g(A) = A^{−1} für A ∈ Gℓ(n) (Gℓ(n) ist die Menge der regulären (n, n)-Matrizen). Zeigen Sie (∗) g′(A)C = −A^{−1}CA^{−1} für C ∈ Gℓ(n). \underline{Hinweis:} Differenzieren Sie die Identität (A + tC)^{−1}(A + tC) = I nach t ∈ IR und beachten Sie g′(A)C = \frac{d}{dt}(A + tC)^{−1}|_{t=0}.

(c) Sei b ∈ IR^{n} fest gewählt und sei f : Gℓ(n) → IR^{n} die Abbildung f(A) = A^{−1}b. Zeigen Sie

\begin{aligned}k_{abs}(A) & ≤ & ∥A^{−1}∥ ∥x∥ , x = A^{−1}b , \\ k_{rel}(A) & ≤ & cond(A) = ∥A∥ ∥A^{−1}∥ . \end{aligned}

\underline{Hinweis:} Berechnen Sie f′(A)C für C ∈ Gℓ(n) mittels (∗) und benutzen Sie

∥f′(A)∥ = max{∥f′(A)C∥ | ∥C∥ = 1}.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Berechnen Sie mit dem Householder-Verfahren (Handrechnung) die Lösung des LGS Ax = b mit

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) .

Aufgabe 23: (2+3 Punkte) Berechnen Sie die Lösung x ∈ IR des linearen Ausgleichsproblems (m = 2, n = 1)

\begin{matrix}min \\ x ∈ IR \end{matrix} ∥y − Ax∥_{2} , y = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} )

mittels

(a) der Normalgleichungen,

(b) der QR-Zerlegung von A.

Bestimmen Sie jeweils das Residuum.

Aufgabe 24: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems

min{∥y − Ax∥_{2} | x ∈ IR^{n}} für y ∈ IR^{m}

und A (m, n)-Matrix mit m > n. Wenden Sie das Programm in §6 zur QR-Zerlegung von A auf die erweiterte Matrix (A|y) an. Testen Sie das Programm an den Daten:

(a)

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 0 & −1 \\ −1 & −2 & −1 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) , y = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) ; x = ( \begin{matrix}& 1 \\ − & 0.5 \\ − & 0.5 \end{matrix} ) ist optimal ,

(b) Der Gezeitenwasserstand in der Nordsee werde in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) durch

H(t) = h + a sin (\frac{2πt}{12}) + b cos (\frac{2πt}{12})

mit unbekannten Konstanten h, a, b beschrieben. Folgende Meßwerte liegen vor:

\begin{matrix}t & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & Stunden \\ H(t) & 1.0 & 1.6 & 1.4 & 0.6 & 0.2 & 0.8 & m \end{matrix}

Bestimmen Sie h, a, b aus dem überbestimmten Gleichungssystem H(t_{i}) = h_{i} , t_{i} = 0, 2, 4, 6, 8, 10.

Abgabe von Aufgabe 24: Fr, 2.12.94

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 7, Abgabe: 02.12.1994, 11.00 Uhr

Aufgabe 22 (4 Punkte): Bearbeiten Sie die in Übung 6 gestellte Aufgabe 22.

Aufgabe 25: (4 Punkte) Ein Versuch mit m Messungen führt auf das lineare Ausgleichsproblem mit A ∈ M(m, n). A liege in QR-Zerlegung A = QR vor. Es werde

a) ein (erster) Meßwert hinzugeführt oder

b) der (erste) Meßwert weggelassen.

Geben Sie Formeln zur Berechnung von Q̃R̃ = Ã

für Ã = ( \begin{matrix}ω^{T} \\ A \end{matrix} ) bzw. A = ( z^{T} ; Ã )

unter Benutzung der QR-Zerlegung von A an.

Aufgabe 26: (3 Punkte) Bestimmen Sie die lineare Ausgleichsgerade y = α + βt zu den Meßpunkten

\begin{matrix}t_{i} & −1 & 0 & 2 \\ y_{i} & −1 & 1.2 & 4.9 \end{matrix}

Aufgabe 27: (3 Punkte) Berechnen Sie die optimale kubische Funktion y = αt + βt^{3} zu den Meßpunkten

\begin{matrix}t_{i} & −1 & 1 & 2 \\ y_{i} & −1.3 & 1.7 & 6 \end{matrix}

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 8, Abgabe: 09.12.1994, 11.00 Uhr

Aufgabe 28: (3 Punkte) Sei g : IR → IR eine C^{1}-Funktion mit |g′(x)| ≤ 0.5 für x ∈ IR. Der Fixpunkt \overline{x} von g soll mit einem absoluten Fehler kleiner gleich 0.5 · 10^{−6} berechnet werden. Die Fixpunktiteration x_{k+1} = g(x_{k}) ergibt

x_{4} = 0.51495 und x_{5} = 0.51519 .

Wieviele zusätzliche Iterationen muß man ausführen, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen?

Aufgabe 29: (4 Punkte) Für α > 0 sei

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{α} & für & x ≥ 0 \\ −|x|^{α} & für & x < 0 . \end{matrix}

Sei x_{0} > 0 Startwert des Newton-Verfahrens zur Bestimmung der Nullstelle \overline{x} = 0 von f.

(a) Für welche α > 0 konvergiert das Newton-Verfahren?

(b) Zeigen Sie, daß das Newton-Verfahren für α > \frac{1}{2}, α ≠ 1, nur linear konvergiert.

Aufgabe 30: (Programmieraufgabe)

(a) Bei der Bahnbestimmung von Planeten ist die “KEPLERsche Gleichung” zu lösen: Gesucht wird die “exzentrische Anomalie” \overline{x} als Lösung der Gleichung

x = g(x) = e sin(x) + \frac{2π}{u} t .

Dabei ist U die Umlaufzeit, t die seit dem Periheldurchgang vergangene Zeit in Tagen und e die numerische Exzentrizität der Bahnellipse. Für die realistischen Werte e = 0.1 und 2πt/U = 0.85 berechne man die Iterationsfolge x_{k+1} = g(x_{k}) (k = 1, …, 8), x_{0} = 0.85, und vergleichen die Quotienten |x_{k+1} − x_{k}|/|x_{k} − x_{k−1}| mit g′(x_{8}).

(b) Programmieren Sie das Newton-Verfahren zur Berechnung der Nullstelle \overline{x} der Funktionen

(1) f(x) = 2x − tan x bzw. f(x) = x − arctan(2x).

(2) f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}} + 0.4 − 1.74ℓn(R\sqrt{x}), R = 10^{5}. Diese Funktion tritt bei der Strömung in einem Rohr auf, wobei R die Reynoldszahl und x die Reibungskonstante bedeutet.

Berechnen Sie in (1), (2) die Quotienten |x_{k+1} − x_{k}|/|x_{k} − x_{k−1}|.

\underline{Abbruchkriterien für (2):} |f(x_{k})| ≤ 10^{−6}

Freiwillige CHAOS-Aufgabe: Sei g(x) = rx(1 − x) die \underline{Parabel-Abbildung} mit dem Parameter r ∈ [0, 4]. Überlegen Sie, daß g(D) ⊂ D für D = [0, 1], und betrachten Sie die Iteration

x_{x+1} = g(x_{k}) = rx_{k}(1 − x_{k}) .

Für 1 < r < 3 erfüllt der Fixpunkt x = x(r) = 1 − 1/r die Bedingung |g′(x(r))| < 1 des Fixpunktsatzes. Berechnen Sie nun die Iterierten x_{k}, 200 ≤ k ≤ 250, für x_{0} = 0.5 und

(1) r = 3.2 (2) r = 3.5 (3) r = 3.56 (4) r = 3.839 .

Die Iterierten x_{k} haben in (i) die Periode 2^{i} (i = 1, 2, 3), in (4) die Periode 3.

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 9, Abgabe: 16.12.1994, 11.00 Uhr

Aufgabe 31: (3+5 Punkte)

(a)

Konvergenzverbesserung nach AITKEN:

Die Folge \{x_{k}\} ⊂ IR sei linear konvergent gegen \overline{x} ∈ IR, d.h. es gelte

x_{k+1} − \overline{x} = (q + ε_{k})(x_{k} − \overline{x}) , |q| < 1 , ε_{k} → 0 .

Zeigen Sie: Gilt x_{k} ≠ \overline{x}, so ist für genügend großes k die Folge

z_{k} := x_{k} − \frac{(x_{k+1} − x_{k})^{2}}{x_{k+2} − 2x_{k+1} + x_{k}}

erklärt und es gilt

\begin{matrix}lim \\ k → ∞ \end{matrix} \frac{z_{k} − \overline{x}}{x_{k} − \overline{x}} = 0 .

\underline{Hinweis:} Setzen Sie e_{k} = x_{k} − \overline{x} und überlegen Sie

x_{k+1} − x_{k} = e_{k+1} − e_{k} , x_{k+2} − 2x_{k+1} + x_{k} = e_{k+2} − 2_{k+1} + e_{k} .

(b) \underline{Verfahren von STEFFENSEN:} Sei f ∈ C^{2}(IR) und sei \overline{x} ein Fixpunkt von f von |f′(\overline{x})| < 1. Durch Kombination der Fixpunktiteration x_{k+1} = f(x_{k}) mit dem Verfahren von AITKEN in (a) erhält man die Iteration

x_{k+1} = g(x_{k}) := x_{k} − \frac{(f(x_{k}) − x_{k})^{2}}{f(f(x_{k})) − 2f(x_{k}) + x_{k}} .

Zeigen Sie, daß dieses Verfahren (mindestens) die Ordnung p = 2 hat:

\underline{Hinweis:} Sei o.E. \overline{x} = 0. Benutzen Sie f(x) = f′(0)x + O(x^{2}) und zeigen Sie g(x) = O(x^{2}).

Berechnen Sie z_{k} (k = 0, 1, 2, 3) für die Iterationsfolge x_{k+1} = g(x_{k}) = exp(−x_{k}), x_{0} = 0.55.

Aufgabe 32: (5 Punkte) Beweisen Sie, daß das Newton-Verfahren zur Funktion

f(x) = x^{n} − a , a > 0 , n ≥ 2 ,

für jeden Startwert x_{0} > 0 gegen die positive Nullstelle \overline{x} = a^{1/n} von f konvergiert. Überlegen Sie dazu, daß gilt (a) x_{1} ≥ \overline{x} für alle x_{0} > 0.

(b) \overline{x} < x_{k+1} < x_{k} für alle k ≥ 1 und x_{k} > \overline{x}.

\underline{Hinweis:} Diskutieren Sie die Newton’sche Iterationsfunktion und deren Ableitung.

Aufgabe 33: (3+2 Punkte) Sei A eine positiv definite Matrix. Dann gibt es genau eine positive definite Matrix X mit X^{2} = A. Man schreibt X = A^{1/2}. Zur Berechnung von X löse man das Gleichungssystem F (X) = 0 mit F (X) = X^{2} − A.

(a) Zeigen Sie, daß das Newton-Verfahren für F (X) = 0 die Form

X_{k+1}X_{k} + X_{k}X_{k+1} = A + X_{k}^{2}

hat.

(b) Berechnen Sie eine Approximation X_{1} für ( \begin{matrix}1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{matrix} )^{1/2} durch einen Schritt des

Newton-Verfahrens mit der Startnäherung X_{0} = I und zeigen Sie, daß

∥X_{1}^{2} − A∥_{∞} ≤ \frac{1}{16} .

Aufgabe 34: (Programmieraufgabe) Programmieren Sie das Newton-Verfahren in IR^{n} zur Berechnung der Nullstelle \overline{x} einer C^{2}-Funktion f : IR^{n} → IR^{n}. Lösen Sie die nichtlinearen Gleichungssysteme

(a) x^{2} + y^{2} + 0.6y = 0.16, x^{2} − y^{2} + x − 1.6y = 0.14

Startdaten: (0.6, 0.25)^{T}

(b)

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ( \begin{matrix}1.2 · 10^{5} · x_{2}^{−1} − 1 \\ 10^{10}(x_{2} + x_{3})(x_{1}x_{2}x_{3})^{−1} − 40 \\ 2 · 10^{5}x_{1}^{−1} − 2 · 10^{4}(x_{2} + x_{3})(x_{2}x_{3})^{−1} − 1 \end{matrix} ) = 0

Die Variablen x_{1}, x_{2}, x_{3} sind die Widerstände einer elektrischen Schaltung.

Startdaten : x_{1} = x_{2} = 10^{5} ,  x_{3} = 10^{4}
Lösung  : x_{1} = 0.44139 · 10^{5} , x_{2} = 0.12 · 10^{6} ,
x_{3} = 0.59445 · 10^{4} .

Abgabe von Aufgabe 34: 13.1.1995

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 10, Abgabe: 20.01.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 35: (3 Punkte) Für das Polynom p(x) = x^{4} − 10x^{3} + 25x^{2} − 36 berechne man mit Hilfe des HORNER-Schemas die Ableitungen p^{(i)}(x_{0}), i = 0, 1, 2, 3, 4, an der Stelle x_{0} = −2.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Zur Lösung des LGS

( \begin{matrix}10 & 0.4 \\ 0.4 & 6 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}10 \\ 12 \end{matrix} )

führe man ausgehend von x^{0} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) zwei Schritte des Gesamt- und Einzelschrittver-

fahrens durch.

Aufgabe 37: (4 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) eine reelle (2, 2)-Matrix.

Man zeige, daß zur Lösung von Ax = b das Gesamtschrittverfahren genau dann konvergiert, wenn das Einzelschrittverfahren konvergiert. \underline{Hinweis.} Berechne die zugehörigen Spektralradien.

Aufgabe 38: (4 Punkte) Sei A eine (m, n)-Matrix mit n ≤ m und rang(A) = n. Sei 0 < r < \frac{2}{σ_{1}^{2}} , wobei σ_{1}^{2} der größte Eigenwert von A^{T} A ist. Zeigen Sie: Die Iteration

x^{(k+1)} = x^{(k)} − rA^{T} (Ax^{(k)} − y)

konvergiert für jede Wahl von x^{(0)}, y gegen eine Lösung des linearen Ausgleichsproblems

\begin{matrix}min \\ x ∈ IR^{n} \end{matrix} ∥y − Ax∥_{2} .

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 11, Abgabe: 27.01.1995, 11.00 Uhr

Aufgabe 39: (3+1 Punkte) Betrachten Sie zu

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 6 \end{matrix} )

das Gesamtschrittverfahren x^{(k+1)} = C_{G}x^{(k)} + d mit C_{G} = −D^{−1}(L + R), d = D^{−1}b.

(a) Überlegen Sie, daß das starke Zeilensummenkriterium nicht erfüllt ist. Zeigen Sie, daß das GS-Verfahren konvergent ist. Berechnen Sie dazu ρ(C_{G}).

(b) Berechnen Sie x^{(1)} mit x^{(0)} = (0, 1, 1)^{T}.

Aufgabe 40: (4 Punkte) Seien C_{G} = −D^{−1}(L+R), C_{E} = (L+D)^{−1}R die Matrizen des Gesamt- und Einzelschrittverfahrens. Man zeige: Falls

∑_{k≠i} |a_{ki}| < |a_{ii}| , i = 1, …, n ,

so gilt

∥C_{E}∥_{∞} ≤ ∥C_{G}∥_{∞} < 1 .

\underline{Hinweis:} Für x ∈ IR^{n}, C_{E}x zeige man induktiv

|y_{k}| ≤ ∥C_{G}∥_{∞}∥x∥_{∞} , k = 1, …, n .

Aufgabe 41: (2 Punkte) Sei p ∈ ∏_{3} das Polynom, das die Funktion f(x) = \sqrt{x} an den Stützpunkten x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 4, x_{3} = 9 interpretiert. Bestimmen Sie p mit der Formel von Lagrange.

Aufgabe 42: (Programmieraufgabe) (+ 2 Punkte) Hält man eine wärmeisolierte Platte am Rande auf einer zeitlich konstanten Temperaturverteilung, so stellt sich auch im Innern auf die Dauer eine unveränderliche Temperaturverteilung T (x, y) ein (vgl. Bild), die der Potentialgleichung (partielle Differentialgleichung)

ΔT (x, y) = ∂_{xx}^{2}T (x, y) + ∂_{yy}^{2}T (x, y) = 0 für (x, y) ∈Ω^{∘}

genügt. Falls Ω ein Rechteck ist mit der Temperaturverteilung T (x, y) = 0 auf dem Rande (x, y) ∈ ∂Ω, so lautet die Lösung

T (x, y) = \frac{sinh(\frac{π}{2}(1 − y))}{sinh(\frac{π}{2})} · cos(\frac{π}{2} x) .

Man lege ein äquidistantes Gitter auf Ω und bezeichne die Temperaturwerte mit a − f (vgl. Bild). Die Potentialgleichung kann angenähert durch die Forderung ersetzt werden, daß der Temperaturwert in jedem Punkt gleich dem arithmetischen Mittel der Temperaturwerte in den vier Nachbarpunkten ist.

(a) Stellen Sie das zugehörige LGS auf.

(b) Schreiben Sie ein Programm zur Lösung des LGS mit dem Gesamtschritt- bzw. Einzelschrittverfahren, das jeweils die ersten 25 Iterationen berechnet und sie mit der exakten Lösung vergleicht.

Startvektor:

\begin{aligned}a_{0} & = & 0.6 & , & b_{0} & = & 0.3 & , & c_{0} & = & 0.5 , \\ d_{0} & = & 0.2 & , & e_{0} & = & 0.3 & , & f_{0} & = & 0.1 . \end{aligned}

Abgabe von Aufgabe 42: Fr. 04.02.1995

Übungen zur Vorlesung “Numerik I”

Übungsblatt 12, Abgabe: 04.02.95, 11.00 Uhr

Aufgabe 43: (2+2+3 Punkte) Sei p ∈ Σ_{3} das Polynom, das die Funktion f(x) = \sqrt{x} an den Stützpunkten x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 4, x_{3} = 9 interpretiert.

(a) Bestimmen Sie p mit der Formel von Lagrange.

(b) Bestimmen Sie p mit der Newtonschen Interpolationsformel.

(c) Das Polynom p_{2} ∈ Σ_{2} interpoliere f(x) = \sqrt{x} in den Knoten 1, 2, 3. Geben Sie eine Abschätzung für den Interpolationsfehler im Intervall [1, 3].

Aufgabe 44: (2 Punkte) Sei p ∈ ∏_{2} das Interpolationspolynom zu gegebenen Stützwerten

\begin{matrix}x_{j} & −1 & 0 & 2 \\ f_{j} & 1 & −0 & 4 \end{matrix}

mit p(x_{j}) = f_{j}, j = 0, 1, 2. Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Neville zu x = 1 den Wert p(x).

Aufgabe 45: (5 Punkte) Der Streckenzug s(x) interpoliere f(x) = ℓn(x) in den äquidistanten Knoten x_{i} = 2 + ih, h = 1/n, i = 0, …, n, d.h.

s(x) = (1 − t) · ℓn(x_{i}) + t · ℓn(x_{i+1}) , x_{i} ≤ x ≤ x_{i+1} , t = (x − x_{i})/h .

Bestimmen Sie ein möglichst kleines n so, daß

max_{2≤x≤3} |s(x) − ℓn(x)| ≤ 10^{−3} .

\underline{Hinweis:} Restgliedformel für x_{i} ≤ x ≤ x_{i+1}.

KLAUSUR: 6. Februar 1995, 13:15 - 16:30 Uhr, Hörsaal: M1 (Übungsgruppen: Büskens, Biedenstein, Fourmont)

M2 (Übungsgruppen: Göllmann)

Bitte bringen Sie Ihren Studentenausweis zur Klausur mit. \underline{Erlaubte Hilsmittel:} Vorlesungsskriptum und bearbeitete Übungsaufgaben. Beides sollte zusammengeheftet sein und nicht als “Lose-Blatt-Sammlung” vorliegen!