Blatt 00, 03.04.2019¶

Aufgabe 0¶

(i) einmalige Einrichtung¶

Dazu müssen auf Ihrem Rechner die Befehle python3 und virtualenv verfügbar sein. Das können Sie überprüfen, indem Sie ein Terminal starten (unter Ubuntu: Super/Windows Taste, terminal eingeben, Return) und die folgenden Befehle eingeben:

python3 --version
virtualenv --version

Beide Befehle sollten Ihnen die jeweilige Version des Programms anzeigen (und keine Fehlermeldung). Zur Einrichtung gehen Sie folgendermaßen vor:

Ins HOME Verzeichnis wechseln und einen Projekt-Ordner anlegen

cd      # ins HOME Verzeichnis wechseln
pwd     # Ort des aktuellen Verzeichnises anzeigen
ls -lh  # Inhalt des aktuellen Verzeichnisses anzeigen
mkdir vorlesung_modellreduktion # ein neues Verzeichnis erstellen
cd vorlesung_modellreduktion    # in dieses Verzeichnis wechseln
pwd
ls -lh

eine virtuelle Umgebung für die Programmierung mit Python schaffen

virtualenv --python=python3 python_umgebung_praktikum_modellreduktion
ls -lh

die virtuelle Umgebung aktivieren

source python_umgebung_praktikum_modellreduktion/bin/activate

benötigte Software in der virtuellen Umgebung installieren

pip install --upgrade pip
pip install pymor[full]
pip install notebook
du -sh python_umgebung_praktikum_modellreduktion

Dabei installiert pip install pymor[full] das neueste Release von pyMOR (momentan 0.5.2). Mehr dazu finden Sie auf https://pymor.org (gehen Sie dort auf View on Github und wählen anstelle von branch: master links oben Tags: 0.5.2 aus, um die entsprechende README.md anzuzeigen).

Arbeitsverzeichnis erstellen

mkdir notebooks

(ii) ab jetzt jedes mal¶

ins Projektverzeichnis wechseln

cd ~/vorlesung_modellreduktion

die virtuelle Umgebung aktivieren

source python_umgebung_praktikum_modellreduktion/bin/activate

Notebook server starten

jupyter-notebook --notebook-dir=notebooks

Aufgabe 1: Gebiete und Gitter¶

Aktivieren Sie die virtuelle Umgebung zum Praktikum und starten Sie den Notebook server (falls noch nicht geschehen)

Erstellen Sie ein neues Python 3 notebook und benennen Sie es in grid_interpolations um.
Geben Sie folgende Befehle in die erste Zelle ein und führen Sie sie aus (mit STRG + Return):
```
%matplotlib notebook
import numpy as np
from pymor.basic import *
```
Ab jetzt ist die numpy Bibliothek unter np verfügbar und alles aus pymor.basic direkt verfügbar.

Suchen Sie in der pyMOR Dokumentation auf docs.pymor.org/ nach einer Klasse, die das Gebiet $$\Omega = [0, 1]^2$$ modellieren kann und legen Sie ein entsprechendes Objekt mit Namen omega an. Nutzen Sie dazu auch die Möglichkeit des jupyter Notebooks, sich zu einem beliebigen Objekt mit Hilfe des ?-postfix die Dokumentation anzeigen zu lassen (z.B. np.array?).

Suchen Sie nach einer Möglichkeit ein konformes Dreiecksgitter $\mathcal{T}_h$ als Partitionierung des Gebiets $\Omega$ mit 16 Dreiecken zu erstellen, und geben Sie folgende Informationen aus:
- Dimension d des Gitters
- Anzahl der Elemente (Kodimension 0 Entitäten, in diesem Fall Dreiecke) im Gitter
- Anzahl der Kanten (Kodimension 1 Entitäten, in diesem Fall Intervalle) im Gitter
- Anzahl der Knoten (Kodimension d Entitäten, Punkte) im Gitter
- die Position eines jeden Knoten des Gitters mit Hilfe einer for-Schleife
Vergleichen Sie die Positionen der Knoten mit der Dokumentation.

Visualisieren Sie "das Gitter", indem Sie die Funktion

$$v_h \in V_h^0,\quad\quad v_h|_K := \text{index of } K \text{ in the grid},\quad\forall K \in \mathcal{T}_h$$

visualisieren, wobei

$$V_h^0 := \big\{ v \in L^2(\Omega) \;\big|\; v|_K \in \mathbb{P}_0(K)\quad\forall K \in \mathcal{T}_h\big\}$$

den Raum der stückweise konstanten Funktionen bzgl. des Gitters bezeichnet ($\mathbb{P}_p(\omega)$ ist dabei der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich $p \in \mathbb{N}$ über einem Gebiet $\omega \subset \mathbb{R}^d$). Der Raum $V_h^0$ spielt insbesondere bei Finite Volumen Verfahren eine Rolle.
- Definieren Sie dazu $V_h^0$ mit Hilfe des NumpyVectorSpace und legen Sie ein entsprechendes Objekt fv_space an.
- Erstellen Sie mit Hilfe von numpy den zu $v_h$ assoziierten DoF-Vektor mit den Werten $0, \dots, 15$
- Erstellen Sie $v_h$ aus diesem DoF-Vektor mit Hilfe von fv_space.from_data.
- Was ist $v_h$?
- Erstellen Sie einen fv_visualizer vom Typ PatchVisualizer, achten Sie auf die korrekte Kodimension! Importieren Sie dazu das nötige Modul (nicht Teil von pymor.basic, also noch nicht verfügbar).
- Nutzen Sie die visualize Methode, geben Sie mit legend= einen Titel an, setzen Sie bei Bedarf d=None.

Aufgabe 2: analytische Funktionen vektorisiert implementieren¶

Sei $f: \Omega \to \mathbb{R}$ gegeben durch $f(x_0, x_1) := x_0 \cdot x_1$.

Schreiben Sie eine Funktion f, die die Auswertung von $f$ and einem Punkt $x$ modelliert und werten Sie die Funktion f für jeden Knotenpunkt des Gitters einzeln mit Hilfe einer for-Schleife aus.

Erstellen Sie ein feineres Gitter mit $1024^2$ Intervallen und messen Sie die benötigte Zeit, um f an jedem Knotenpunkt des feineren Gitters auszuwerten.

Versuchen Sie, f an allen Knotenpunkten des groben Gitters gleichzeitig auszuwerten. Warum funktioniert das nicht?

Schreiben Sie eine vektorisierte Variante von f, welche die elementweisen Operationen des numpy.ndarray ausnutzt.

Werten Sie diese Variante für alle Knotenpunkte des feineren Gitters gleichzeitig aus und messen Sie die benötigte Zeit.

Erstellen Sie eine ExpressionFunction, um $f$ zu modellieren, werten Sie diese an allen Knotenpunkten des feinen Gitters aus und messen Sie die benötigte Zeit.